I. Tóm tắt lý thuyết:

I.1 Định nghĩa:

Giả sử xác định trên[img][You must be registered and logged in to see this link.] [\alpha ; +\infty )[/img] và khả tích trên một đoạn hữu hạn .

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):



thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của trên [img][You must be registered and logged in to see this link.] )[/img]

Nếu giới hạn này hữu hạn ta nói tích phân suy rộng là hội tụ.

Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ.

Ví dụ:

là hội tụ.

là phân kỳ.

I.2 Định nghĩa:

.

I.3 Tích phân suy rộng với các cận vô hạn:

Cho hàm số khả tích trên [img][You must be registered and logged in to see this link.] mọi . Tích phân suy rộng với các cận vô hạn, kí hiệu là: .

Tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi cả và cùng hội tụ với mọi . Khi đó:

với mọi .

I.4 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân: với

Nếu thì tích phân phân kỳ.

Nếu thì tích phân hội tụ.

Nếu thì tích phân phân kỳ.

I.5 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp

I.5.1 Định lý 1:

Cho hàm số và khả tích trên [img][You must be registered and logged in to see this link.] mọi . Để tích phân hội tụ thì điều kiện cần và đủ là tồn tại sao cho với mọi .

I.5.2 Định lý 2 (định lý so sánh 1):

Cho các hàm số và khả tích trên [img][You must be registered and logged in to see this link.] với mọi và với mọi . Khi đó:

Nếu hội tụ thì hội tụ.

Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

I.5.3 Định lý 3 (định lý so sánh 2):

Cho hàm số không âm và khả tích trên [img][You must be registered and logged in to see this link.] với mọi . Khi đó:

Nếu với thì các tích phân suy rộng và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Nếu và hội tụ thì hội tụ.

Nếu và phân kỳ thì phân kỳ.

Hệ quả 1:

Giả sử với đủ lớn hàm số có dạng:

với . Khi đó:

Nếu và thì hội tụ.

Nếu và thì phân kỳ.

trong đó là hằng số.

Hệ quả 2:

Nếu và là VCB cấp so với VCB cấp tại thì hội tụ khi và phân kỳ khi .