ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên DPhương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm
hai đồ thị của hai hàm số
)
và
)
cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số
.
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng
)
cắt đồ thị hàm số
.
Chú ý : Nếu hàm số
liên tục trên
và
)
,
)
thì phương trình :
=k)
có nghiệm
Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
2) [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] Giải:1)Xét hàm số
=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})
có tập xác định là
.
Ta có:
=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}})
=0\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\qquad (1))
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] \left( x+\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left( x-\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]=\left( x-\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left(x+\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]\Leftrightarrow x=0[/img]
thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình
=0)
vô nghiệm
)
không đổi dấu trên
, mà
=10\Rightarrow f(x)0\foral x\in R\Rightarrow f(x))
đồng biến.
Mặt khác:
=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1)
và
=-1)
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi
.
2) ĐK:
Xét hàm số [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] với [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] D=[0;+\infty )[/img]
Ta có:
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.][img]
[You must be registered and logged in to see this link.] f^{'}(x)=0\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt[4]{(x^2+1)^3}\Leftrightarrow x^6=(x^2+1)^3\Leftrightarrow x^2=x^2+1[/img] vô nghiệm
không đổi dấu trên
,
mà [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] f'(x)0\foral x\in D[/img]
Mặt khác:
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{(x^2+1)^3}+\sqrt[4]{x^2(x^2+1)^2}+\sqrt[4]{x^4(x^2+1)}+\sqrt[4]{x^6}}=0[/img]
\le f(0)=1\foral x\in D\Rightarrow)
phương trình có nghiệm
.
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.
Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] 2)
)
.
Giải:1) Phương trình
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] \sqrt[4]{x^4-13x+m}=1-x\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ x^4-13x+m=(1-x)^2[/img]
Xét hàm số
=4x^3-6x^2-9x)
với
Ta có:
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=\frac{3}{2} \\ x=-\frac{1}{2}[/img].
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
.
2) Điều kiện:
.
Khi đó phương trình
=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})=m)
(Vì
)
Xét hàm số
=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}))
với
.
Ta có:
=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt {x+12}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\right))
.
Do [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] \frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}0\foral x\in [0;4)[/img] .
Vậy
)
là hàm đồng biến trên [img]
[You must be registered and logged in to see this link.]=f(0)\le f(x)\le f(4)=12)
Suy ra phương trình có nghiệm
\le m\le 12)
Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
 ^{4-5x}\qquad (1) \\ 3x^2-,x\sqrt{x}+16=0\qquad (2))
Giải:Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có:
.
Hệ có nghiệm
)
có nghiệm [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] [1;4][/img].
\Leftrightarrow \frac{3x^2+16}{x\sqrt{x}}=0)
.
Xét
=\frac{3x^2+16}{x\sqrt{x}})
với [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] [1;4][/img]
có [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] (x^2+16)}{2x^3}\le 0\foral x\in [1;4][/img].
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] 8=f(4)\le f(x)\le f(1)=19\foral x\in [1;4][/img]
Vậy hệ có nghiệm
.
Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
 \\ x^2-(m+2)x+2m+3=0\qquad (2))
Giải:Ta có:
\Leftrightarrow 7^{2+\sqrt{x+1}}\left( 7^{2(x+1)}-1\right)\le 2007(1-x)\qquad (3))
.
* Nếu
0VP(3)\Rightarrow (3))
vô nghiệm.
* Nếu
\le 0\le VP(3)\Rightarrow (3))
đúng
)
có nghiệm
Suy ra hệ có nghiệm
có nghiệm
Ta có:
\Leftrightarrow m=\frac{x^2-2x+3}{x-2}=f(x))
. Xét hàm số
với
,
có:
=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=2-\sqrt{3})
.
Dựa vào bảng biến thiên
hệ có nghiệm
.
Ví dụ 5: Tìm
để hệ phương trình sau có nghiệm:
 \\ y+\sqrt{xy}=2\qquad (2))
.
Giải:Ta thấy
)
là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết
trước.
Ta có:
\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2-y\Leftrightarrow \left{ y\le 2 \\ x=\frac{y^2-4y+4}{y})
.
Thay vào
)
ta được:
\qquad (3))
.
Hệ có nghiệm
)
có nghiệm
.
Xét hàm số
)
với
=\frac{4}{y^2}0\Rightarrow f(y))
đồng biến trên các khoảng
)
và
=4;\quad \lim\limits_{y\rightarrow 0^+}f(y)=-\infty ;\quad \lim\limits_{y\rightarrow 0^-}f(y)=+\infty)
Suy ra hệ có nghiệm
)
.
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý
Số nghiệm của phương trình
=g(m))
chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
và
. Do đó phương trình có
nghiệm
hai đồ thị trên cắt nhau tại
giao điểm.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của
để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] Giải:Đặt
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] t\ge 0[/img].
Ta có phương trình :
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] \sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m}=2[/img]
.
Xét hàm số
=x^4-4x^3+16x-16)
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] f'(x)=4(x^3-3x^2+4)=4(x-2)^2(x+1)\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=-1 \\ x=2[/img].
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 7: Tìm
để phương trình :
có ba nghiệm phân biệt.
Giải:Phương trình:
=x\Leftrightarrow m=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1})
(do
)
Xét hàm số:
=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\Rightarrow f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}-1-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}}{(\sqrt{x^2+2}-1)^2})
=\frac{2-\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}(\sqrt{x^2+2}-1)^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2})
.
Dựa vào bảng biến thiên
.
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của
để phương trình:
có đúng một nghiệm
)
.
Giải:Ta thấy để pt có nghiệm thì
. Khi đó:
Phương trình đã cho
 ^2}=-2m)
.
Xét hàm số :
=\frac{sint}{t})
với
)
Ta có:
=\frac{t.cost-sint}{t^2}=\frac{cost(t-tant)}{t^2}0)
với
\Rightarrow f(t))
nghịch biến.
Mà:
 =\frac{2\sqrt{2}}{\pi})
và
=1\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\pi}f(t)1\Rightarrow \frac{8}{\pi ^2}\frac{sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\righ t) ^2}1\quad\foral x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right))
Vậy phương trình có đúng một nghiệm
 \Leftrightarrow \frac{8}{\pi ^2}-2m1)
.
Ví dụ 9: Tìm
để hệ phương trình :
^2+y-m=0 \\ x+\sqrt{xy}=1)
có ba cặp nghiệm phân biệt .
Giải:Ta có :
(do
không là nghiệm phương trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
)
.
Hệ có ba cặp nghiệm
)
có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn
.
Xét hàm số:
=3x^2+6x+\frac{x^2-2x+1}{x}=3x^2+7x-2+\frac{1}{x})
với
.
=6x+7-\frac{1}{x^2}=\frac{6x^3+7x^2-1}{x^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1;\quad x=-\frac{1}{2};\quad x=\frac{1}{3})
.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
)
có ba nghiệm phân biệt
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] \left[ \frac{11}{3}\le m-3\le 9 \\ -7\le m-3\le -\frac{27}{4}\Leftrightarrow \left[ \frac{20}{3}\le m\le 12 \\ -4\le m\le -\frac{15}{3}[/img] .
Vậy
là những giá trị cần tìm.
Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt
,\quad x\in D)
, ta tìm được
và phương trình
=0)
(1) trở thành
=0)
(2). Khi đó (1) có nghiệm
(2) có nghiệm
.
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm
)
).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị
thì phương trình
=t)
có bao nhiêu nghiệm
?.
Ví dụ 10: Tìm
để các phương trình sau có nghiệm.
1) 
.
2) (6-x)}=m)
.
3) [img]
[You must be registered and logged in to see this link.]Giải: 1) Điều kiện:
.
Phương trình
}=-x^2+9x+m\Leftrightarrow 2-m=x(9-x)-2\sqrt{x(9-x)})
Đặt
}\Rightarrow 0\le t\le \frac{x+9-x}{2}=\frac{9}{2})
Ta có phương trình :
\qquad (1))
.
Phương trình đã cho có nghiệm
)
có nghiệm [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] 0;\frac{9}{2}\right][/img]
Xét hàm số:
)
với [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] 0;\frac{9}{2}\right][/img],
có
=2t-20\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=1)
.
Vậy phương trình có nghiệm
.
2) Điều kiện:
Đặt
(6-x)}\Rightarrow \sqrt{(3+x)(6-x)}=\frac{t^2-1}{2})
Phương trình đã cho trở thành:
)
.
Xét hàm số
=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\Rightarrow t'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-\frac{1}{2\sqrt{6-x}})
=0\Leftrightarrow \sqrt{6-x}=\sqrt{x+3}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2})
.
Dựa vào bảng biến thiên của [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] t\in [3;3\sqrt{2}][/img]
Suy ra
có nghiệm
có nghiệm [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] [3;3\sqrt{2}][/img].
Xét hàm số
=t^2-2t)
với
, có [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] t\in [3;3\sqrt{2}][/img]
Suy ra
là hàm đồng biến trên [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] 3=f(3)\le f(t)\le f(3\sqrt{2})=18-6\sqrt{2}\foral t\in [3;3\sqrt{2}][/img]
Vậy phương trình có nghiệm
.
3) Điều kiện :
.
Ta thấy
không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] ta được:
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}+2\right)-\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}=2\qquad (*)[/img].
Đặt
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] t^4(x-2)=x+2\Rightarrow x=\frac{(t^4+1)}{t^4-1}2[/img]
Khi đó ( * ) trở thành:
-t=2\Leftrightarrow m=\frac{t^2+2t}{2t=1}=f(t)\qquad (3))
.
Phương trình đã cho có nghiệm
có nghiệm
.
Xét hàm số
f(t) với
, có:
=\frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2}0\foral t1)
.
f(1)=1\foral t1)
.
Vậy phương trình có nghiệm
.
Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của
.Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của
. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:
Ở câu
2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :
(6-x)}\le 9\Rightarrow 9\le t^2\le 18\Rightarrow 3\le t\le 3\sqrt{2})
.
Ở câu
3) để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:
[img]
[You must be registered and logged in to see this link.] vì
.
Ví dụ 11: Tìm
để các phương trình
1) +3=0)
có nghiệm .
2) 
có nghiệm trên [img]
[You must be registered and logged in to see this link.]Giải:1) Đặt
và
.
Phương trình đã cho trở thành:
)
( vì
).
Phương trình đã cho có nghiệm
có nghiệm t thỏa mãn
.
Xét hàm số
=\frac{t^2+1}{t})
với
,
ta có:
=\frac{t^2-1}{t^2}0\foral t:\quad |t|\ge 2)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm
.
2) Đặt
.
Với
.
Phương trình đã cho trở thành:
)
Phương trình đã cho có nghiệm trên [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] (2)[/img] có nghiệm
Xét hàm số
=t^2+t)
với
, ta thấy
là hàm đồng biến trên [img]
[You must be registered and logged in to see this link.]Suy ra [img]
[You must be registered and logged in to see this link.] f(t)\lef(2)=5\foral t\in [1;2][/img].
Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt
-log_{\sqrt{3}(x-1)log_{3}4\qquad (1) \\ log_{2}(x^2-2x+5)-mlog_{x^2-2x+5}2=5\qquad (2))
Giải: Điều kiện :
.
\Leftrightarrow log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}log_{\sqrt{3}}2\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}2\Leftrightarrow 1x3)
(Do
).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt
.
Đặt
\Rightarrow 2t3\foral x\in (1;3))
và (2) trở thành
)
Từ cách đặt
ta có:
^2=2^t-4\Rightarrow)
Với mỗi giá trị
)
thì cho ta đúng một giá trị
)
. Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow (3))
có 2 nghiệm phân biệt
.
Xét hàm số
=t^2-5t)
với
\Rightarrow f'(t)=2t-5\Rightarrow =0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2})
Suy ra
)
có 2 nghiệm phân biệt
\Leftrightarrow -\frac{25}{4}-m-6\Leftrightarrow 6m\frac{25}{4})
Sat Feb 20, 2010 11:38 am
